조립제품의 구성부품을 확실하게 교체할 수 있도록 부품을 설계하고 생산하는 것은
현대의 제조공정에서 핵심적인 관점이라고 할 수 있다. 같은 파트넘버를 가진 어떤 부품은
조립공장에서 멀리 떨어져 있는 전세계 어떤 공장에서 생산될 수도 있다. 부품은 새로운 제품을
조립하는데 쉽게 조립될 수 있도록 거의 동일하다고 인정되는 규격값에 맞추어 생산되어야 한다.

고객은 전 세계 어디에서든지 서비스 회사로 부터 유사한 표준수준을 기대하기 때문에 서비스 산업에서도
호환성이 크게 증가하고 있다. 이런 관점에서 최종 완성품의 반응값이 규격값 내에 잘 유지될 수 있도록
예측변수로서 부품의 허용구간을 어떻게 설정할 수 있는지 알아 보도록 하자.

허용차를 설정한다는 것은 너무 넓어서도 안되고 너무 좁아서도 안된다. 허용차가 너무 넓으면
최종 제품의 성능이 안정적이지 못하게 하여 이런 이유로 품질 문제를 일으킬 수 있다.
허용차가 너무 좁으면 제조자 입장에서 다루기가 어려워 질 것이고 이런 이유로 최종 비용이 증가하게 된다.

최종 제품의 규격값(Specifications)은 고객의 목소리(VOC)를 반영하게 되는데, 이러한 최종제품의
규격값을 개개의 기능부품의 허용차로 어떻게 변환할 수 있을까?

아래에 예시한 그래프는 페인트 제조회사에서 안료혼합률과 불순도 사이의 상관관계를 알아보기 위해
실험을 실시한 결과로 구한 회귀식과 회귀선을 나타내고 있다. 안료혼합률을 증가시키면 안료들을
응고시키는 원인이 되고 있다. 이 불순도는 페인트의 성능에 역으로 나쁜영향을 주게된다.

안료혼합률을 높일 수록 페인트 내에 불순도(응고물의 양)이 증가하는 것을 나타내고 있으며,
회귀식을 참조하여 보면 안료혼합률을 1단위 증가시키면 불순도 수준을 0.4552 증가시킨다.

이런 상황에서 페인트의 불순도가 15를 초과해서는 안된다고 하면 안료혼합률의 허용차를 어떻게 설정하여야 할까?

위의 그래프에서 예측구간(Prediction Interval)은 회귀선의 영역구간에서 개별 예측값이 자연적으로 분포하는
영역을 표현하고 있다. 작업 프로세스와 측정의 변동 및 환경의 변화 등에 의해 발생할 수 있는 통제할 수 없는
변동을 상쇄시켜주기 위해 예측구간(PI)의 상한값을 고려해주어야 한다. 

Y 좌표의 상한값이 15 일 때, 안료혼합률은 29.16(X 좌표) 임을 알 수 있다.
바로 이 29.16 값을 예측변수인 안료혼합률의 허용공차상한값(USL)로 삼을 수 있고, 이 경우
불순도는 15이하로 잘 유지될 수 있다. 그래프에서는 95% 예측구간을 적용하였는데,
고객에게 좀더 양질의 페인트를 공급하려면 예측구간을 99%로 수정할 수도 있다.

이런 맥락에서 우리는 개별 예측값에 대한 변동을 반영하는 예측구간(Prediction Interval)만
사용하면 된다. 여기서 신뢰구간(CI)는 회귀모형내 주어져 있는 예측변수에 대한 반응변수
추정값의 정밀도를 나타낸다.

아래 예시한 그래프는 예측변수에 대한 2차항 효과를 보여주고 있다. 여기수 우리는 반응결과(Y)가
1.0을 초과해서는 안된다는 규격값을 가지고 있다면, 예측변수는 하한(LSL) 및 상한값(USL)으로
각각 설정해 주어야 한다.

다시 정리하면 예측구간(PI)의 상한선은 개별 예측변수의 변동을 설명하는데 사용할 수 있으므로
이 프로세스에서 예측변수의 LSL(56, 1.0), USL(137, 1.0)으로 허용차를 결정할 수 있게된다.